E=mc2 ~ Cady Ayyad Education

Sculpture de « E=mc² », à Berlin.

L'équation E=mc² (lire « E égale M C carré ») a été exprimée en 1905 par Albert Einstein dans le cadre de la relativité restreinte. Elle signifie qu'une particule de masse m isolée et au repos dans un référentiel, possède, du fait de cette masse, une énergie E, appeléeénergie de masse, de valeur donnée par le produit de m par le carré de la vitesse de la lumière.

Cette relation a fortement marqué les esprits car elle montre que du fait de l'énormité du facteur c², une perte de masse même petite à l'échelle humaine peut dégager une quantité considérable d'énergie. Par exemple, un gramme de matière que l'on annihilerait par collision avec de l'antimatière correspond à environ 10¹⁴ joules, soit approximativement l'énergie dégagée par les premières bombes nucléaires.

Dans la pratique, on utilise en 2013 plutôt beaucoup d'énergie pour créer un peu d'antimatière destinée aux expériences, les centrales nucléaires utilisant la fission pour générer de la perte de masse avec dégagement d'énergie - typiquement 1000 MW par centrale1. La création en continu de cette perte de masse par fusion reste un objectif à long terme, dont la faisabilité n'est pas certaine, et que les projets comme ITER ou ceux de confinement laser ont pour objet d'étudier, ainsi que la Z machine.

Historique

Selon l'historien Umberto Bartocci, l'équation d'équivalence entre masse et énergie aurait été formulée dès 1903 par un physicien italien amateur, Olinto de Pretto2. La formule est décrite le 29 novembre 1903 dans un article de 62 pages publié par la revue scientifique de l'Institut Royal des Sciences, Lettres et Arts de Venise3.

C'est deux ans plus tard, avec le dernier des articles publiés lors de son annus mirabilis, qu'Einstein exprime ce qui deviendra son équation célèbre : « Si un corps perd une énergie L sous forme de rayonnement, sa masse diminue de L/c² »4.

Dans ce texte, il produit une première démonstration pour le cas général de cette égalité qui jusque-là n'avait été démontré que dans des cas particuliers5. Il en proposera par la suite deux autres, en 1934 et en 19465.

L'équation E = mc² fait toutefois partie des apports que certains contestent à Einstein dans le cadre de la controverse sur la paternité de la relativité.

Illustrations

En mécanique newtonienne, l'énergie d'une particule isolée provient de sa vitesse et se manifeste sous forme d'énergie cinétique. Au contraire, d'une façon inattendue à l'époque de sa découverte, E = mc² exprime qu'une particule de masse m possède intrinsèquement une énergie E, même si elle est au repos. Elle stipule que la masse (au repos) fait partie de l’énergie (totale) d'un corps, comme l'est l’énergie cinétique. L’énergie (totale) d’un corps devient donc la somme de son énergie cinétique et de son énergie de masse (au repos).

Cette équivalence entre masse et énergie ouvre un éventail de possibilités inconnues de la physique pré-relativiste. En relativité restreinte, la masse (au repos) peut être « convertie » en chaleur, énergie cinétique ou autre forme d’énergie, au cours d'une réaction. En effet lorsque les particules d'un système donné subissent une transformation, par exemple lors d'une collision, la relativité restreinte impose que l'énergie totale (évaluée dans un certain système de coordonnées) se conserve. Mais comme l'énergie (totale) comprend la masse (au repos), il est tout-à-fait possible que « de la masse » (au repos) apparaisse lors de la réaction (par exemple sous forme de particules) au détriment d'énergie ou que, au contraire, de l'énergie soit libérée par « consommation » de masse (au repos).

Numériquement, dans l'équation $E = mc^2$ et dans le système international d'unités :

E est l'énergie exprimée en joules,
m est la masse en kilogrammes,
c est la vitesse de la lumière dans le vide, soit 299 792 458 m/s = 2,997 924 58×10⁸ m/s (soit c ≈ 300000 km/s), ce qui correspond à un facteur c² ≈ 9×10¹⁶ m²⋅s^-2.

Dans le système CGS, E est en erg, m en grammes, c vaut 2,997 925×10¹⁰ cm/s et c² ≈ 9×10²⁰ cm²⋅s^-2.

On peut vérifier expérimentalement que la racine carrée du rapport E/m est égale à c dans l'exemple suivant. Dans la désintégration du positronium, il y a création et émission de deux rayons gamma d'énergie (mesurée) 0,511 MeV = 0,8186×10^-13 J, en compensation de la disparition de deux masses d'électron.

La masse d'un électron étant de 9,11×10^-31 kg, on trouve bien :

$\frac E m = \frac{0,82\cdot 10^{-13}\mbox{ J}}{9,11\cdot 10^{-31}\mbox{ kg}} = 9,0 \cdot 10^{16}\,\text{m}^2\text{/s}^2$

et donc :

$\sqrt{\frac E m} = 3,0\cdot 10^{8}\,\text{m/s} = \text{c}\,.$

Application au domaine nucléaire

La fameuse équation sur le pont de l'USSEnterprise lors de l'Opération Sea Orbit, dont tous les navires présents étaient propulsés grâce à l'énergie nucléaire.

Ce type de transformation de masse en énergie est utilisée par les piles atomiques ainsi que des bombes nucléaires. L’énergie correspondant à 1 kg de matière est énorme, car égale à 9×10¹⁶ joules : c'est l’énergie produite par un réacteur nucléaire d'une puissance électrique de 1400 MW pendant deux ans environnote 1. La France produisait en 2006 environ 80 % de son électricité dans 58centrales nucléaires d'une puissance chacune de l'ordre du gigawatt, leur bilan d'énergie peut être évalué à partir de la formule d'Einsteinnote 2.

Résolution de la production d'énergie des étoiles

À l'échelle astronomique, la formule explique également comment les étoiles, comme le Soleil, peuvent émettre leur énergie pendant des milliards d'années, alors que cette situation constituait un mystère pour la physique du début du xx^e siècle, aucune source d'énergie connue à l'époque ne pouvant en rendre compte.

Au centre du Soleil, les conditions physiques sont telles que s'y produisent des réactions nucléaires capables au bout d'une chaine de processus de transformer 4 noyaux d'hydrogène (4 protons), en 1 noyau d'hélium. Il se trouve que la masse au repos du noyau d'hélium (⁴He) est inférieure à la somme des masses au repos des 2 protons et 2 neutronsnote 3 qui le constituent.
L'énergie équivalente à cette différence de masse est la source de l'énergie du Soleil, et grâce à l'importance du facteur de conversion c²et à la masse considérable du Soleil, le calcul montre que l'énergie libérée permet à notre étoile de briller pendant une bonne douzaine de milliards d'annéesnote 4.

Domaines d'application générale de la formule

Domaine moléculaire et atomique

Cette relation s'applique à d'autres domaine que le nucléaire. Par exemple en chimie, lorsque 1 kg d'hydrogène se combine avec 8 kg d'oxygène pour former de l'eau, environ 10⁸ joules d'énergie est libérée. Cette énergie correspond à une perte de masse d'environ 10^-9 kg, ce qui entraine que la masse de l'eau formée est inférieure de cette quantité à la masse initiale de 9 kilogrammes des réactifs.

Le défaut de masse, de l'ordre du dixième de milliardième en valeur relative, est trop infime pour pouvoir être mis en évidence par des mesures expérimentales, qui arrivent au mieux à l'ordre du centième de millionième. C'est pour ça que l'on continue à utiliser sans inconvénient le « théorème classique » de la conservation de la masse dans les réactions chimiques et dans la vie courante6.

Les mesures de spectrométrie de masse actuelles (2013) approchent cependant cette précision, et devraient permettre de visualiser directement l'équivalent de masse de l'énergie de liaison moléculaire, comme on le fait avec l'énergie de liaison nucléaire.

Un autre cas d'équivalence entre variation de masse et énergie est donné par le défaut de masse de l'atome le plus simple : la masse de l'atome d'hydrogène $_1^1\mbox{H}$ est inférieure à la somme des masses de l'électron et du proton d'une quantité juste égale à l'équivalent en masse de l'énergie d'ionisation de l'atome, bien que ce défaut soit tout à fait hors de portée de la mesure courante, puisqu'il vaut : $\Delta m = \frac {13,6\times1,6\cdot10^{-19} \mbox{ J}} {(3\cdot10^8\mbox{ m/s})^2} \approx 2\cdot10^{-35}\text{ kg}$ ; c'est-à-dire un peu plus de dix milliardièmes (un centième de millionième) de la masse d'un proton.

Domaine gravitationnel

Il en est de même dans le domaine gravitationnel, bien que (très) rarement mis en évidence dû au rapport généralement infime entre le défaut de masse des systèmes gravitationnels « communs » (du système solaire) et au caractère globalement statique de la répartition des sources gravitationnelles.
Mais par exemple, le voyage de la Terre à la Lune, peut être considérée comme une « réaction gravitationnelle », un astronaute (ou tout corps massif) qui effectue ce voyage a nécessité l'apport d'énergie à l'ensemble terre+lune+astronaute, et la masse de cet ensemble s'est accrue de l'équivalent de masse de cette énergie apportée, et inversement lors du retour de l'astronaute, qui en chute libre après s'être libéré de l'attraction lunaire tomberait brutalement sur la terre, libèrerait par radiation cet excès d'énergie, et la masse de l'ensemble re-diminuerait... Cette variation de masse de l'ensemble serait en principe mesurable sur l'effet gravitationnel de l'ensemble pour un corps lointain passant dans son champ, par mesure de la déviation angulaire dans sa trajectoire hyperbolique.

Formulation générale

Énergie et impulsion en relativité restreinte

Si la formule $E=mc^2$ concerne une particule au repos, c'est-à-dire une particule dont la vitesse est nulle dans le référentiel choisi, que devient cette expression dans un autre référentiel, avec une particule animée d'une vitesse v ?

Alors que la géométrie euclidienne raisonne sur des points repérés dans l'espace par trois coordonnées, la relativité restreinte raisonne sur des événements repérés dans l'espace-temps par quatre coordonnées, une de temps et trois d'espace. De même que la distance euclidienne entre deux points est invariante par changement de repère, de même la théorie relativiste stipule que le carré de l'intervalle d'espace-temps défini par :

$\,c^2\Delta\tau = c^2\Delta t^2 - \Delta s^2\,,$

où Δt représente l'intervalle de temps entre les deux événements et Δs la distance, est invariant par changement de repère. Autrement dit quand on mesure les coordonnées des mêmes événements dans plusieurs repères (t, x, y, z)), (t', x', y', z'), (t", x", y", z") différents respectant pour le passage de l'un à l'autre la transformation de Lorentz, la quantité suivante ne change pas de valeur :

$\,c^2\Delta\tau = c^2\Delta t^2 - \Delta s^2=c^2\Delta t'^2 - \Delta s'^2=c^2\Delta t''^2 - \Delta s''^2=\cdots\,.$

Alors que la mécanique newtonienne considère d'une part l'énergie et d'autre part la quantité de mouvement d'un corps en mouvement, la relativité unifie ces deux concepts dans un objet unique : le quadrivecteur énergie-impulsion. Ce vecteur à quatre dimensions a pour composante temporelle l'énergie E/c de la particule et pour composante spatiale son vecteur impulsion (ou quantité de mouvement) $\vec{p}$ à trois dimensions. Comme il est le pendant du vecteur impulsion mv de la mécanique classique (produit de la masse par la vitesse) il est égal à m u où u est maintenant le quadrivecteur vitesse.

De même que le carré de l'intervalle d'espace-temps était invariant par changement de coordonnées, de même l'est le carré de la norme du quadrivecteur énergie-impulsion. Autrement dit la quantité :

$\,(E/c)^2 - p^2$

est indépendante du repère dans lequel on l'évalue. Mais séparément, l'énergie et l'impulsion en dépendent.

Dans le repère propre de la particule, celui où elle est au repos, la vitesse, et donc l'impulsion, est nulle. Si on note E₀ l'énergie dans ce repère propre l'invariance de la quantité précédente s'écrit :

$\,(E/c)^2 - p^2 = (E_0/c)^2 - 0 \equiv (E_0/c)^2\,,$

La valeur de E₀ nous est donné par le fameux mc² de sorte que l'on aboutit à l'équation capitale suivante :

$E^2/c^2 - p^2\, =\, (m c)^2$

ou encore :

$E^2 - p^2c^2 \,=\, m^2 c^4\,.$

La théorie montre que dans un repère où la vitesse de la particule est v l'énergie et la quantité de mouvement sont données par les formules :

$\,E = \gamma mc^2 \equiv mc^2/\sqrt{1 - (v^2/c^2)}$

$\,p=\gamma mv \equiv mv/\sqrt{1 - (v^2/c^2)}$

avec la notation classique,

$\,\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}}\,.$

On vérifie que $E^2 - p^2c^2 = m^2 c^4$ et on déduit de ces formules la relation importante entre énergie et impulsion :

$p=(v/c)(E/c)\,.$

Cas d'une particule de masse nulle

relativité restreinte, vitesse des particules de masse nulle

Le cas d'une particule de masse nulle découle des formules précédentes, et notamment de :

$\,p=(v/c)(E/c)\,.$

Si une particule a une vitesse égale à c son énergie est :

$E=pc\,.$

Par conséquent sa masse est nulle puisqu'elle est donnée par la formule :

$m^2c^4=E^2 - p^2c^2 = 0 \,.$

Inversement si une particule a une masse nulle son énergie est $E=pc$ et par conséquent v = c.

En physique des particules, plusieurs particules ont une masse nulle et se déplacent à la vitesse c, dont les photons, qui transportent le rayonnement électromagnétique, et lesbosons de jauge, qui transmettent les autres interactions fondamentales du modèle standard. Le neutrino a longtemps été considéré comme une particule de masse nulle mais des expériences récentes comme celle de Super-Kamiokande font penser que cette masse serait toute petite mais pas nullenote 5. Dans le cadre de la relativité générale les ondes gravitationnelles se déplacent aussi à la vitesse de la lumière et la particule associée, appelée graviton, devrait être de masse nulle.
Néanmoins à ce jour, et contrairement aux autres particules citées, ni le graviton ni le rayonnement gravitationnel associé n'ont été observés expérimentalement. Seul le rayonnement gravitationnel a été mis indirectement en évidence, par ses effets, dans la réduction des orbites d'un couple de pulsars.

Unités

Énergie en unités de masse

Les formules utilisées ci-dessus sont écrites en unités conventionnelles. Mais il peut être commode d'utiliser des unités mieux adaptées à l'espace-temps, en exprimant en particulier une énergie en kilogrammes, autrement dit en prenant comme unité d'énergie l'énergie d'un kilogramme de matière.

D'après la formule :

E(joules) = m(kilogrammes)×[c(m/s)]²,

l'énergie équivalente à la masse d'un kilogramme est :

énergie d'un kilogramme (en joules) = [c(m/s)]².

Par conséquent l'énergie en unités de masse sera :

E(en unités de masse) ≡ E(en kilogrammes) = E(en joules)/(énergie d'un kilogramme en joules) ≡ E(en joules)/[c(m/s)]²

On peut donc écrire :

$\,E_\text{(kg)} = E_\text{(J)}/c^2$

et en sens inverse :

$\,E_\text{(J)} = E_\text{(kg)}\ c^2$

Numériquement :

1 kg = 8,988×10¹⁶ J

1 J = 1,113×10^-17 kg

ou dans le système CGS utilisé par habitude en astronomie :

1 g = 8,988×10²⁰ erg

1 erg = 1,113×10^-21 g

De la même façon, la réunion du temps et de l'espace en une seule entité invite le physicien à utiliser une même unité, la seconde ou le mètre, pour mesurer les longueurs et les tempsnote 6.

On a les formules de passage suivantes :

$d_{\rm (s)} = \frac{d_{\rm (m)}}{c_{\rm (m.s^{-1})}}$

$d_{\rm (m)} = c \times d_{\rm (s)}$ ,

où d_(s) est le temps mis par la lumière pour parcourir d_(m).

On écrit à l'identique :

$t_{\rm (m)} = c \times t_{\rm (s)}$ ,

$t_{\rm (s)} = \frac{t_{\rm (m)}}{c_{\rm (m.s^{-1})}}$

où t_(m) est la distance parcourue par la lumière en t_(s).

L'utilisation d'une unité commune, disons la seconde, pour mesurer distance et temps est riche d'enseignement dans le contexte présent. En effet grâce à ce choix la vitesse v, rapport d'une distance à un temps, devient sans dimension. Par conséquent l'énergie cinétique newtonienne K = (1/2)mv² prend les dimensions d'une masse, ce qui revient à dire qu'on peut exprimer une énergie en unités de masse. On retrouve donc de façon simple, et néanmoins convenable, l'équivalence entre énergie et masse.

Ainsi, si l'énergie E est exprimée en unités de masse (par exemple en kilogrammes) la formule d'Einstein devient :

$\,E_{\rm kg} = m_{\rm kg}$

ou plus simplement :

$\,E=m$ .

En fait, en utilisant des unités relativistes, le facteur c disparaît de toutes les formules. Ainsi la formule donnant l'invariant du vecteur énergie-impulsion s'écrit maintenant :

$E_{\rm rel}^2 - p_{\rm rel}^2 = m^2\,,$

où E_rel et p_rel sont exprimées en unités relativistes (c'est-à-dire en kilogrammes).

De même il est agréable d'écrire le carré du temps propre sous la forme homogène et symétrique :

$\Delta\tau^2 = \Delta t^2 - \Delta s^2\,$

sans avoir à traîner des facteurs c.

Masse en électron-volt

En sens inverse il est très courant en physique atomique de mesurer une masse en unités d'énergie. Ainsi la masse d'une particule est souvent donnée en électron-volt.

La fameuse équation sur le gratte-ciel Taipei 101 en l'honneur de l'année de la physique 2005.

Un électron-volt vaut 1,602 176 53×10^-19 joule, énergie à laquelle correspond la masse 1eV/c², soit 1,783×10^-36 kg.

On a donc les formules de passage :

$\,1 \text{ eV} = 1,783\times 10^{-36}\,\text{kg}$

$\,1 \text{ kg} = 5,610\times 10^{35}\,\text{eV}.$

Puisque le nombre sans dimensions qui mesure une certaine grandeur est par définition le rapport entre la grandeur à mesurer et la grandeur choisie pour unité, ce nombre est inversement proportionnel à la valeur de l'unité choisie (si l'unité choisie est plus grande, le nombre qui mesurera la grandeur est lui plus petit).

Ici on a donc :

m(en eV) / m(en kg) = 1kg / 1eV,

de sorte que l'on peut écrire :

$\,m_\text{(eV)} = 5,610 \times 10^{35} \,m_\text{(kg)}$

$\,m_\text{(kg)} = 1,783 \times 10^{-36} \,m_\text{(eV)}$

Rappelons les multiples usuels :

1 keV = 10³ eV

1 MeV = 10⁶ eV

1 GeV = 10⁹ eV

1 TeV = 10¹² eV

Par exemple, la masse de l'électron est de 511 keV, celle du proton de 938 MeV et celle du neutron est de 940 MeV.

Énergie d'une particule

L'énergie totale d'une particule isolée (qui dépend, rappelons-le, du repère choisi) peut s'écrire comme la somme de son énergie au repos mc² et de son énergie cinétique K.

On a donc :

$E = mc^2/\sqrt{1-(v^2/c^2)}=mc^2+K\,.$

L'énergie cinétique devient :

$\,K\, = E - m c^2 \,=\,m c^2\left( \frac{1}{\sqrt{1 - (v^2/c^2)}} - 1\right)\,.$

Aux faibles vitesses (c'est-à-dire petites devant celle de la lumière), on obtient :

$K \simeq \,(1/2) m v^2\,,$

qui n'est autre que l'énergie cinétique classique.

Pour les vitesses très proches de celle de la lumière, l'énergie au repos de la particule s'avère négligeable devant l'énergie cinétique.

Comme on peut écrire :

$1 - \beta^2 = (1 + \beta)(1-\beta) \simeq 2(1-\beta)$

l'énergie totale devient :

$E \simeq K = \frac{mc^2}{\sqrt{2(1-\beta)}}\equiv \frac{mc^2}{\sqrt{2[1-(v/c)]}}\,.$

Validité générale de la formule

En notant m₀ la masse de la particule et E₀ son énergie (équivalente) au repos, l'équation d'Einstein s'écrit :

$E_0 = m_0 c^2.$

On introduit alors la quantité :

$m = \gamma m_0\,$

qui n'est plus la masse m₀, mais qui, mesurant l'inertie de la particule dans le repère considéré où elle a cette vitesse v, indique sa masse inerte dans ce repère.

Dans ces conditions la formule écrite plus haut « E=γm₀.c² » donnant l'énergie de la particule prend la même forme :

$E=mc^2\,,$

l'expression étant alors valable même dans le cas où le corps n'est pas au repos.

Note

Il peut alors avoir confusion avec la notation classique de « $E=mc^2$ » qui se réfère en fait à la masse au repos, qui est m₀ (notée communément m). On peut remarquer en effet que la masse au repos, notée ici m₀, possède une signification physique indépendante du repère choisi car son carré est l'invariant du vecteur énergie-impulsion (en unités relativistes).

Mais bien que cette propriété majeure ne soit pas partagée par la masse inerte m, qui elle dépend du repère choisi comme l'énergie cinétique et son équivalent de masse (qui est la différence entre m et m₀), la masse inerte m est précisément la masse (totale) du corps considéré dans le système considéré.
→ Pour preuve, les particules accélérées augmentent leur masse (γm₀) ce qui modifie réellement leur trajectoire (ou les moyens de les maintenir sur leur trajectoire, ce qui est équivalent) dans le repère de l'accélérateur (au repos). On a donc affaire à une véritable grandeur physique, qui bien que relative montre la validité générale de l'équivalence masse-énergie (qui est en fait toujours vérifiée).

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samedi 5 octobre 2013

E=mc2

Historique